Esta lección presenta una demostración completa de la derivada de la función exponencial \( a^x \), donde \( a > 0 \) y \( a \neq 1 \). También deducimos la fórmula para la función exponencial compuesta \( a^{u(x)} \) utilizando la regla de la cadena y proporcionamos ejemplos resueltos.
Demostración de la Derivada de \( a^x \)
Sea:
\[ y = a^x, \qquad a > 0, \; a \neq 1 \]Tomamos el logaritmo natural de ambos lados:
\[ \ln y = \ln(a^x) \]Utilizando la identidad logarítmica \( \ln(a^x) = x \ln a \), obtenemos:
\[ \ln y = x \ln a \]Derivamos ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln a) \]Aplicamos la regla de la cadena en el lado izquierdo:
\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a \]Multiplicamos ambos lados por \( y \):
\[ \frac{dy}{dx} = y \ln a \]Sustituimos \( y = a^x \):
Derivada de la Función Compuesta \( y = a^{u(x)} \)
Sea \( u = u(x) \). Por la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = \frac{d(a^u)}{du} \frac{du}{dx} \]Utilizando el resultado anterior:
\[ \frac{d(a^u)}{du} = (\ln a)a^u \]Por lo tanto:
Ejemplos con Soluciones
Ejemplos Resueltos: Derivación de Funciones Exponenciales Compuestas
Encuentre las derivadas de las siguientes funciones:
- \( f(x) = 2^{-x^4+5x-4} \)
- \( g(x) = 3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
- \( h(x) = 5^{\frac{2x}{3x+2}} \)
Soluciones:
-
Sea \( u(x) = -x^4 + 5x - 4 \). Entonces \( \frac{du}{dx} = -4x^3 + 5 \).
Aplicando la fórmula: \[ f'(x) = (\ln 2)\,2^{-x^4+5x-4}(-4x^3+5) \] -
Sea \( u(x) = \sqrt{x^4+2x} \). Entonces \( \frac{du}{dx} = \frac{4x^3+2}{2\sqrt{x^4+2x}} = \frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \).
Aplicando la fórmula: \[ g'(x) = (\ln 3)\,3^{\sqrt{x^4+2x}}\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \] - Sea \( u(x) = \frac{2x}{3x+2} \). Utilizando la regla del cociente: \[ \frac{du}{dx} = \frac{2(3x+2) - 2x(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x}{(3x+2)^2} = \frac{4}{(3x+2)^2} \] Aplicando la fórmula: \[ h'(x) = (\ln 5)\,5^{\frac{2x}{3x+2}}\frac{4}{(3x+2)^2} \]